Težave z odvajanjem

[Lunca19]

Ugotovila ..........

[Lunca19]

Mi zna mogoče kdo pomagati pri odvajanju. Veliko primerov sem ze poskušala odvesti in nekateri lepo pridejo, pri nekaterih pa nekaj naredim narobe. Ugotovila sem , da je nekje potrebno odvajati ze original funkcijo (brez da jo kaj razstaviš, v nekaterih primerih pa jo moraš razstaviti - pa še to včasih ne celo). Prilagam sliko.

[GregaSaksida]

Živjo,

v prvem postopku se nisi zmotila, ker si števca. Zmotila si se, ker med odvajanjem nisi pravilno uporabila oklepajev. Pravilo za odvod količnika pravi:
$$ \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}.$$

V tvojem primeru je $g(x) = (x-3)(x+3)$. To si pravilno odvajala in dobila
$$(x+3)-(x-3)$$
Vse to skupaj je odvod. V tvojem ulomku mora to nastopati v oklepaju, ker je ta celota odvod imenovalca. V števcu bi morala pisati
$$ 1 \cdot (x-3)(x+3) - (x+2) \cdot \big( (x+3) - (x-3) \big)$$
Seveda lahko poenostaviš $(x+3) - (x-3) = 6$. Potem dobiš
$$ (x-3)(x+3) - (x+2) \cdot 6$$

Torej: pazi, kako postavljaš oklepaje ter kje pride $+$ in kje $\cdot$.

Drugače pa ni nobenega pravila, zaradi katerega ne bi smela ali pa bi morala razstavljati. V obeh primerih moraš dobiti enak rezultat. Če dobiš v enem primeru napačen rezultat, pomeni, da si v vsaj enem postopku naredila napako. V drugi nalogi, ki si jo poslala, ni problem v tem, da ne smeš razstaviti števca, ampak, da se ti zaenkrat še ne splača, ker se ti nič ne pokrajša. Bi pa razstavljen izraz težje odvajala, ker bi morala upoštevati pravilo produkta. V tej nalogi ti tudi imenovalca ni treba takoj na začetku razstaviti. Moraš pa ponavadi po odvajanju vse razstaviti, ker se ti bo morda kaj pokrajšalo. Če pred odvajanjem ne pokrajšaš izrazov, boš imela zgolj težji račun. Če po odvajanju ne pokrajšaš, ne boš dobila vse točk.

Lp, Grega

[Lunca19]

Najlepša hvala.

Pri spodnjem primeru mi ni jasno, zakaj se je oklepaj (x+1)na kvadrat pokrajšal z zgornjim (x+1),(oz. s katerim se je sploh pokrajšal s 1. ali 2. oklepajem, ki sem ju oštevilčila), glede na to da ne nastopa le produkt (sta + in - v števcu).

A ni tako, da lahko krajšamo števc in produkt le kadar nastopa množenje npr. (x-2)(x+3)/(x+7)(x-2) = x+3/x+7

SEM ZDAJ REŠILA NA DRUGAČEN NAČIN IN MI PRIDE. ČE SEM RAZSTAVILA ŠTEVEC (x-1)(x+1) SEM POTEM BREZ PROBLEMA PRIŠLA DO REŠITVE. TA POTOPEK IZ REŠITEV PA NE ZGRUNTAM.

Hvala za vašo pomoč!

[urhprimozic]

Živjo. Če prav vidim, v rešitvah manjka en oklepaj. In sicer velja

$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4)(x+1) - (x^2 - 1)(2x(x+1)+(x^2-4)\large\textbf)}{(x^2 - 4)^2(x+1)^2}$
(Na koncu v imenovalcu manjka en oklepaj. Imenovalec je potem oblike
$\text{nekaj}\cdot(x + 1) - (x^2-1)\cdot\text{nekaj drugega}$ in se vse lepo sezide)

Trik je, da razpišeš $(x^2-1) = (x+1)(x-1)$ in izpostaviš (x+1).
$2x(x^2 - 4)(x+1) - \textbf{(x^2 - 1)}(2x(x+1)+(x^2-4)) =$
$ 2x(x^2 - 4)\textbf{(x+1)} - \textbf{(x+1)(x-1)}(2x(x+1)+(x^2-4)) =$
$=(x+1)(2x(x^2 - 4) - (x-1)(2x(x+1)+(x^2-4)))$

[urhprimozic]

V glavnem pa ja, vsi (pravilni) postopki te privedejo do pravilnega rezultata.

[Lunca19]

[Lunca19]

Kako prides do rezultata (ta ima stopnjo 3), zgoraj je pa na 4. Ne vem kdaj zacnem okrajsat, kdaj ne...

[GregaSaksida]

Poskusi kaj izpostaviti v števcu in potem krajšati. Krajšati lahko začneš kadarkoli, bolj je pomembno, da pravilno okrajšaš. Kdaj se ti splača krajšati in kdaj ne lahko ugotoviš le s časom, pa še takrat lahko včasih ubereš manj optimalno pot. Navadno se ti splača krajšati čim prej, če le lahko.

[Lunca19]

Pravilno krajšati pomeni, da v zgornjem primeru (kar je z modro zapisano)še ne smem, saj je minus vmes, lahko pa bi okrajšala (x-2), če bi bilo v števcu le množenje?

[GregaSaksida]

Ja. Ampak $(x-2)$ ti nastopa v obeh členih v števcu, zato ga lahko izpostaviš.

[Lunca19]

Bila bi zelo vesela, če bi mi kdo izpisal celoten postopek (tudi vmesne korake), od tegale primera, ker nikakor ne pridem do rezultata. Mislim da bom počas že vodo odkrila

Hvala za pomoč!

[GregaSaksida]

Vidim, da imaš veliko težav z odvajanjem, zato ti predlagam, da si pomagaš s tem kalkulatorjem:
https://www.derivative-calculator.net/
V polje vneseš funkcijo, ki ti jo kalkulator odvede. Če klikneš na "show steps", ti v celoti pokaže vse korake in ti tudi pove, katera pravila uporabi kje.
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ pomeni odvod, recimo
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x) = f'(x).$$

Ker ti ta naloga dela težave, jo poskusi rešiti po kosih: odvajaj najprej posebej $x^2$, $(x-3)$, $(x+3)^3$ in $(x-2)^2$. Potem si pomagaj s temi že izračunanimi odvodi, da odvajaš $x^2 (x-3)$ in $(x+3)^3 (x-2)^2$. Potem pa odvajaj še celoten ulomek. Pazi na oklepaje. Če hočeš, pošlji list s takim postopkom in ti lahko poiščem napake, če ti še vedno ne bo šlo.

Lp, Grega

[Lunca19]

Pri utipkavanju me mal heca. (x-2)^2 mora bit v imenovalcu in ne vem kako to utipkati, da ga spravim v imenovalec. No, pa tudi x^2 bi moral bit v števcu ampak ni nič narobe, če je levo spredaj ane...

[GregaSaksida]

Tako je, nič ni narobe, če je $x^2$ spredaj. Če pa hočeš spraviti $(x-2)^2$ v imenovalec, daj vse, kar hočeš imeti v imenovalcu, v oklepaj: napiši
x^2 * (x-3) / ((x+3)^3 * (x-2)^2).
Potem bo kalkulator vedel, da mora deliti z vsem tistim. Če napišeš še x^2 in (x-3) v oklepaju, torej
(x^2 * (x-3)),
bo še $x^2$ v števcu.

[jureslak]

Ja, kalkulator je naredil točno to, kar si mu povedalal...
Izraz a/b*c pomeni $\frac{a}{b} \cdot c$, sam se bere od leve proti desni, ker sta * in / enako močna. Z oklepaji, torej a/(b*c) pa lahko to spremeniš v $\frac{a}{bc}$.

[Lunca19]

Mislim, da ne bo rezultata iz tega. Postopki iz calculatorja mi pa niso jasn.
Kje je problem

[rzgdmqt]

Živijo,

že pri prvem enačaju si pozabila na oklepaj, tako $x^2(x - 3)$ pomnožiš le s $3\cdot (x + 3)^2(x-2)^2$, člena $(x + 3)^3\cdot 2(x - 2)$ pa ne. Mogoče bi ti bilo lažje, če bi si nekje posebej poračunala posamične dele, saj je tole postalo precej nepregledno.

[Lunca19]

Samo zakaj ne še +(x+3)^3*2(x-2) ....
Poračunala sem, da je odvod od ((x+3)^3(x-2)^2)'= 3(x+3)^2(x-2)^2+(x+3)*2(x-2)

[GregaSaksida]

Kaj te spravlja na misel, da tam ni še $+ (x+3)^2 \cdot 2(x-2)$? Pa oklepaj si pozabila. Formula za odvod količnika pravi, da je drugi člen v števcu enak $-f \cdot g'$. Torej moraš pisati
$$ \cdots - \bigg(x^2(x-3) \cdot \bigg[3(x+3)^2 (x-2)^2 + (x+3)^3 \cdot 2(x-2) \bigg] \bigg) $$
Oklepaj, ki si ga pozabila, sem označil z oglatima oklepajema $\big[ \ldots \big]$.