Nejasne predpostavke pri trditvi o kriteriju za ekstrem

[mat4]

Pozdravljeni,

Trudim se razumeti, zakaj je za spodnjo posledico ena od predpostavk, da je J interval, (pa tudi zveznost se mi zdi odveč.) Ali ne bi bila posledica enakega pomena, če bi izgledala takole: naj bo f odvedljiva v okolici notranje točke c, razen morda v c. Če f’ pri c spremeni predznak potem je v c lokalni ekstrem.
(saj odvedljivost na odprti množici, kar okolica je, implicira zveznost, sploh pa ne razumem zakaj bi moralo definicijsko območje za ta pogoj biti interval.)

Ali je mogoče samo zato, ker posledica sledi iz izreka, ki pa takšne predpostavke potrebuje? (2. Slika)

[GregaSaksida]

Živjo,
verjetno zaradi trdtve, ja. Potem se lahko v dokazovanju posledice lahko skličeš na trditev, sicer se ne moreš.

Drugače pa se zahteva interval zato, da imaš nekaj, čemur se reče povezana množica. Recimo, da imaš funkcijo, ki je definirana na $(0, 1) \cup (2, 3)$. To ni interval. Lahko se zgodi, da imaš zvezno in odvedljivo funkcijo na tem definicijskem območju, ki ima negativen odvod na $(0, 1)$ in pozitiven odvod na $(2, 3)$, pa nima nobenega ekstrema. Če sedaj namesto $(0,1) \cup (2, e)$ vzameš raje $(0, 1-\varepsilon) \cup (0, 1 + \varepsilon)$, lahko dosežeš, da predpostavek posledice razen intervala veljajo, posledica pa ne.

To ne pomeni, da ni možno narediti posledice, ki zahteva interval. A je z intervalom enostavnejše in ne dobiš nekega v bistvu manj splošnega rezultata.

Še primer funkcije:

Lp, Grega

[mat4]

Vem kaj misliš, ampak še vedno ne razumem čisto. Saj je v predpostavki tudi, da je c notranja točka, torej, da je sama vsebovana v J in da ima neko okolico, ki leži v J. A če to upoštevamo bi posledica vedno držala? Ne razumem čisto protiprimera, si mislil $(0, 1 - \epsilon) \cup (1, 1 + \epsilon)$ ?

Hvala in lahko noč

[GregaSaksida]

Bož popravil protiprimer: $(-\varepsilon/2, -\varepsilon/4) \cup (\varepsilon/4, \varepsilon/2)$. Potem bi s sprenevedanjem šlo skozi. Pravim s sprenevedanjem, ker v resnici lahko zahtevaš, da je za neko fiksno definicijsko območje in nek $c$ $\varepsilon$ poljubno majhen (v posledici ne piše točno tako, a je po mojem tako mišljeno). In ker je $c$ notranja točka, obstaja tak $\varepsilon'$, da je $\varepsilon'$-okolica povsem znotraj enega od obeh kosov unije (kot si sam ugotil: dovolj je, da je $c$ notranja). Ampak potem se pa lahko osredotočiš na zgolj enega od teh dveh delov in imaš zgolj zopet interval. Zdaj se mi zdi, da sem te žejnega pripeljal čez vodo Štos je v tem, da je na realni osi odprta okolica neke točke že sama po sebi interval. Zato mislim, da se interval zahteva zato, da se lahko (lažje) skličeš na trditev, trditev pa zahteva interval zato, da lahko uporabiš Lagrangeev izrek.

[mat4]

Okej, razumem ubistvu je situacija ista če imaš interval ali unijo intervalov, saj si v vsakem primeru v nekem smislu na "intervalu".

Hvala še enkrat