Naloga iz funkcij

[1654]

Živjo, zanima me, kako bi lahko pri 1. ali 2. nalogi dokazali surjektivnost? In potem še injektivnost na manjšem intervalu (naloga 1.c)

https://ucilnica.fmf.uni-lj.si/pluginfile.php/55016/mod_resource/content/6/proseminar2021s2.pdf

Hvala za pomoč

[rzgdmqt]

Živijo,

surjektivnost v splošnem dokažeš tako, da zapišeš $f(x) = y$, potem pa izraziš iz te enačbe $x$. S tem si našla $x$, ki se slika v tvoj (poljuben) $y$. Druga možnost je.

V tem posebnem primeru pa gre za polinom lihe stopnje. Pomisli kam gre funkcija v neskončnosti in kam v negativni neskončnosti. Zaradi zveznosti bo zavzela tudi vse vmesne vrednosti, torej vsa realna števila.

Pri drugi je polinom sode stopnje. Spet poračunaš vrednosti v neskončnostih (zaradi sode stopnje bo v obeh primerih neskončno) torej moraš poiskati najnižjo točko polinoma. To lahko narediš z odvodom, ampak se boš namatrala. Tud se ti bolj splača iti po srednješolsko in pišeš $x^2 = y$ in imaš potem kvadratno enačbo. Poračunaš teme in potem pogledaš kaj to pomeni za tvoj $x$. Ko dobiš to najnižjo točko, bo tudi zaloga vrednosti od najmanjše točke ddo neskončnosti.

Injektivnost lahko preveriš po definiciji, ampak ni vedno najlažje. Veliko bolj enostavno je, če preprosto pogledaš, da funkcija povsod strogo narašča, torej $x < y \Rightarrow f(x) < f(y)$ (ali pa padanje). To lahko preveriš tudi z odvodom.

Povej če bo šlo

[1654]

Že prej sem probala z načinom, ko izraziš x, ampak mi pride enačba s koreni in ne znam potem dobiti osnovne oblike nazaj.
To s neskončnostjo ne razumem prav najbolje z liho stopnjo, ali to pomeni potem uporaba limite?
Torej pri sodi stopnji izračunam teme in dobim (0,2) kar pomeni da je zaloga vrednosti od 2 pa neskončno in je to dovolj dober dokaz?

Hvala

[rzgdmqt]

Živijo,

pravzaprav gre za limite ja, ampak ni to bistveno. Bistvo je, da glavno vlogo, kako zgleda polinom v neskončnosti, igra vodilni člen. Torej če je vodilni koeficient pozitiven, gre v neskončnosti polinom lihe stopnje v plus neskončno, v negativni neskončnosti pa v minus neskončno. Če pa je vodilni koeficient negativen pa ravno obratno. Lahko pomisliš kaj bise zgodilo, če bi zelo velike, ali pa zelo mmajhne vrednosti vstavljala v polinom.

Pri polinomih sode stopnje pa v obeh neskončnostih gre v plus neskončno, če je vodilni koeficient pozitiven, če pa je vodilni koeficient negativen, pa gre v minus neskončno.

Za vse zvezne funkcije pa velja, da dosežejo med vsakima dvema točkama tudi vse vmesne točke. Torej če najdeš pri polinomu najmanjšo vrednost in največjo vrednost (globalno gledano, torej ekstremi in tudi v plus in minus neskončno), zagotovo doseže tudi vse vrednosti vmes.

[1654]

To razumem ja, samo ne vem kako bi potem to uporabili kot dokaz surjektivnosti, oziroma nekako razumem ampak ne znam to zapisat kot dokaz.

[rzgdmqt]

Dokazati je treba ta tvoja funkcija poslika vse vrednosti od minus neskončno do plus neskončno. Torej kot dokaz lahko zapišeš "ker funkcija v neskončnosti gre proti neskončno in v minus neskončnosti v minus neskončno in je zvezna, zavzame vsa realna števila".

[1654]

Aha razumem

Hvala