Če imaš funckijo $f\colon A \to B$, je $f$ funckija, množica $A$ domena in množica $B$ kodomena. V tvojem primeru je torej domena $\mathbb R \times \mathbb R$, kodomena pa tudi $\mathbb R \times \mathbb R$, kjer je pač na drugi strani puščice, tako da to imaš kar podano v nalogi.
Glede iskanja predpisa za inverz pa meni pomaga, če si elemente različno poimenujem. Množica $\mathbb R \times \mathbb R$ na levi ima za elemente recimo pare $(x, y)$, elemente tiste na desni pa imenujmo $(u, v)$. Tako inverzna funkcija izgleda kot $f^{-1}(u, v)$, ker slika iz tistega $\mathbb R \times \mathbb R$, kjer notri živijo $(u, v)$-ji.
Zdaj pa predpis preberemo tako: če imamo en element $(x, y)$ se ta s $f$ preslika v $u = x+y$ in v $v = x-y$.
Kaj pa obratno, recimo da imam nek par $(u, v)$, iz katerih $x$ in $y$ je nastal? Če iz katerih, je zanje moralo veljati
$$\begin{align*} u = x+y \\ v = x-y, \end{align*}$$ in če od tu izrazimo $x$ in $y$, dobimo
$$\begin{align*} x = \frac{u+v}{2} \\ v = \frac{u-v}{2}. \end{align*}$$
To pa je tudi potencialen predpis za inverz: $f^{-1}(u, v) = \left(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\right)$.
Seveda pa je zdaj treba, kot si tudi sama povedala, preveriti, da je to res inverz.
