Dokaz leibnizove formule in ekstrem

[mat4]

Pozdravljeni,

prosil bi za malo pomoči pri dokazovanju Leibnizove formule.
2. naloga: https://ucilnica.fmf.uni-lj.si/pluginfile.php/57800/mod_resource/content/0/DN13.pdf
Uporabil sem linearost odvoda in slutim da sem blizu a ne vem kako bi prišel do konca. Ali je formula sploh prava? Bi skoraj rekel da je formula mišljena za produkt in da se začne s $k = 0$ in ne 1.

Težave mi pa dela tudi 5. naloga kjer sem dolžino zapisal kot funkcijo $x$ s parametroma $a$ in $b$ kjer je x kot prikazano na sliki. (Ubistvu funkcijo x in y, a je y odvisen od x) potem sem to funkcijo zapisal na dva načina (glede na pitagorov izrek) a katerokoli odvajam dobim solato iz katere ne znam izračunati stacionarnih točk...

[GregaSaksida]

Pri drugi mora verjetno res biti produkt in $k=0$. Tako formulo ti uspe dokazati?

Poskusi pri peti računati le z $d(x)$. Ne rabiš obeh, ker imaš v obeh že samo eno spremenljivko. Pa namesto ekstrema $d$ lahko iščeš ekstrem $d^2$, kar bo lažje (to lahko narediš, ker dosežeta $d$ in $d^2$ ekstrem v istem $x$-u).

Če boš še imel težave, poskusi namesto $x$ uporabiti kot med palico in hodnikom, torej $x = \frac{b}{\tan \alpha}$. Ampak po mojem ti bo steklo že s prejšnjim trikom.

Sporoči, kako bo šlo
Lep pozdrav.
Grega

[mat4]

Ne, pri leibnizovi se mi tudi tako zatakne

Pri ekstremu tudi, karkoli poskusim bodisi pridem do nekega polinoma 4 stopnje z x-som in a, b ki nimam pojma kako bi ga razstavil s tangensom pa sem prišel do tega:

[GregaSaksida]

Mislim, da si pri peti nalogi narobe odvajal $d(x)^2$.

Kako si pa poskušal narediti indukcijski korak pri drugi nalogi? Predlagam ti, da ga uporabiš takoj na začetku, tako da pišeš:
$$ (fg)^{(n+1)} = \left( (fg)^{(n)} \right)' \stackrel{\text{IP}}{=} ( \text{formula za $n$})' $$
IP pomeni indukcijska predpostavka. Potem pa je izziv le še, da pravilni pobereš skupaj člene in zapišeš rezultat v pravilni obliki, torej kot vsoto $\sum_{k=0}^{n+1}$. Če ti je težko dobiti tako vsoto, lahko delaš z obeh strani: ko odvajaš formulo za $n$-ti odvod, lahko posebej razpišeš še vsoto $\sum_{k=0}^{n+1}$ in pogledaš, če imata vse člene iste.

Lp, Grega

[GregaSaksida]

Živjo, sem bolj od blizu pogledal peto nalogo. Ko računaš ničle odvoda, dobiš res enačbo 4. stopnje. Z malo urejanja bi moral dobiti enačbo
$$x^4 + ax^3 - ab^2x - a^2b^2 = 0.$$ Dobiš tako enačbo? Poskusi iz te enačbe izpostaviti čim več iz prvih dveh členov in čim več iz zadnjih dveh členov. Potem boš videl, da lahko iz nastalih dveh členov ponovno nekaj izpostaviš.

Dobiti bi moral ekstrem $x = ab^2$. Da dobiš potem $d$ v taki obliki, kot je v rešitvah, je nekaj dela. Predlagam ti, da najprej $x = ab^2$ vstaviš v formulo za $d^2$, potem razširiš vse kvadrate in pobereš skupaj člene, potem pa bi moral v nastalem izrazu prepoznati kub dvočlenika (torej izraz oblike $u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 = (u+v)^3$).

Sporoči, ali ti bo uspelo

[mat4]

Ahaa, okej 5. razumem hvala

[mat4]

bi te lahko vseeno prosil še za malo pomoči pri leibnizu? Do sem pridem...

[GregaSaksida]

Živjo,

lahko si tako pomagaš: veš, da boš v končnem rezultatu moral imeti v vsoti binomski koeficient $\binom{n+1}{k}$, ti pa imaš zaenkrat dva koeficienta $\binom{n}{k}$. To te morda spomni na formulo
$$ \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k} + \binom{n-1}{k-1}$$ oziroma
$$ \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}.$$

Sedaj pa poglej vsoti, ki si ju dobil z odvajanjem. V obeh vsotah se večinoma pojavljajo isti odvodi. Na primer: če v prvo vsoto vstaviš $k=2$, dobiš
$$\binom{n}{2} f^{(3)} g^{(n-2)},$$
če v drugo vsoto vstaviš $k=3$, pa dobiš
$$\binom{n}{3} f^{(3)} g^{(n-2)}.$$
Če oboje sešteješ in upoštevaš formulo za binomske koeficiente, dobiš
$$\binom{n+1}{3} f^{(3)} g^{(n-2)}.$$
In seveda je $g^{(n-2)} = g^{((n+1)-3)}$.

Torej: obe vsoti imata podobne člene, a so zamaknjeni. Poskusi takole: v prvo vsoto namesto indeksa $k$ vstavi indeks $l = k+1$ in celotno vsoto prepiši z $l$ namesto $k$ (pazi, ker se ti spremenijo tudi meje seštevanja). Potem poskusi vsoti sešteti (pri vsaki vsoti boš moral en člen vsote pisati posebej, da boš lahko preostanka seštel). Tu boš moral upoštevati, da je vseeno, ali označiš indeks v vsoti z $l$ ali s $k$.

Sporoči, kako bo šlo
Lp, Grega

[mat4]

Mi je uspelo,

super razlaga, hvala še enkrat