Baza jedra in slike presliave

[Valj]

Kako naj se tukaj lotim (b) naloge? Za jedro sem poskusil rešiti vektorsko enačbo $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{x})\times\overrightarrow{b}=0$, pa dobim, da če sta $\overrightarrow{a}$ in $\overrightarrow{b}$ pravokotna, potem je $\overrightarrow{x}$ ali ničelni vektor ali pa je pravokoten na $\overrightarrow{b}$, sicer pa dobim, da je $\overrightarrow{x}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}$. Iz tega se ne da oz. vsaj jaz ne znam zapisati baze, zato bi prosil za pomoč. Za bazo slike pa sploh ne vem, kako se lotiti iskanja.

[GregaSaksida]

Poskusimo najprej poiskati ogrodje jedra (ogrodje je kot baza, le da vektorji v ogrodju niso nujno linearno neodvisni). Recimo, da so $v_1, v_2, \ldots, v_n$ ogrodje jedra. Potem lahko vsak vektor v jedru zapišeš kot $x = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n$ ze neke $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ (to je linearna kombinacija).

Ugotovil si, da so v jedru vsi vektorji, ki so oblike $\alpha \cdot a$. Z besedami: vsak vektor v jedru je linearna kombinacija vektorja $a$. Upaš sedaj povedati, kaj je ogrodje in kaj baza jedra?

Lp, Grega

[Valj]

Če bi bili v jedru samo vektorji, ki so linearna kombinacija vektorja $\overrightarrow{a}$ (torej $\overrightarrow{x}=\alpha\overrightarrow{a})$, bi rekel, da je baza pač vektor $\overrightarrow{a}$. Problem imam, ker sem dobil (če se nisem zmotil), da so v jedru tudi vektorji, ki so pravokotni na $\overrightarrow{b}$, če je res $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$. Ne vem kaj naj naredim v zvezi s tem, kako naj pri zapisu baze sploh ločim primere.

[GregaSaksida]

Primere ločiš tako, da kar napišeš: 1.) $a \perp b$: ... in 2.) $a \not\perp b$: ...
V drugem primeru je baza res zgolj vektor $a$.

V prvem primeru pa ne le, da so v jedru vektorji, pravokotni na $b$ in ne nujno vzporedni $a$, in vektorji, vzporedni $a$, ampak tudi vse njihove linearne kombinacije (če to ne bi bilo res, potem jedro sploh ne bi bilo vektorski prostor, baza ne bi imela smisla in $A$ ne bi bila linearna). Iščeš torej manjkajoči bazni vektor. Ne sme biti vzporeden vektorju $a$ (drugače nisi dodal bazi nič novega, ker je tak vektor linearno odvisen od $a$), mora pa ležati v jedru, torej mora biti pravokoten na $b$. Kako lahko iz $a$ in $b$ dobiš kakšen vektor, ki je pravokoten na $b$ in ni vzporeden $a$?

[Valj]

Hvala za pomoč. Povej mi prosim, če je moj razmislek pravilen:
Če velja $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$, so rešitev vsi vektorji $\overrightarrow{x}$, ki so pravokotni na $\overrightarrow{b}$. Taki vektorji so npr. večkratniki vektorja $\overrightarrow{a}$. Vendar pa to niso vsi vektorji, ki so pravokotni na $\overrightarrow{b}$. Rabimo še en vektor, ki je pravokoten na $\overrightarrow{b}$ in ni večkratnik vektorja $\overrightarrow{a}$. Tak vektor je npr. $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$. Zato je baza jedra v primeru $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}$ enaka $ \{ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \}$.

Pa še, a bi mi lahko še malo namignil kako naj se lotim iskanja baze slike? A je ideja v tem, da če vzamem za $\mathbb{R}^3$ bazo $ \{ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} \}$ pogledam kam se slika $\overrightarrow{b}$, ki ni v jedru?

[GregaSaksida]

To je pravilen razmislek Za jedro in za sliko. Pri iskanju baze slike si (v razmisleku) upošteval, da $b$ ni v jedru in da je razsežnost slike 1 (če je $a\perp b$), torej poljuben neničeln vektor v sliki (recimo $Ab$) napenja sliko.

Lp, Grega